Concours Médecine 2020 Mathématiques

Question 1

Si z est le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\frac{\pi}{3}$, alors $z^8$ est égal à :

A) $8 + i8\sqrt{3}$ B) $-8 + i8\sqrt{3}$ C) $-8 - i8\sqrt{3}$ D) $8 - i8\sqrt{3}$ E) $4 + i4\sqrt{3}$

Question 2

Si $\theta$ est un nombre réel, alors $\cos^3\theta$ est égal à :

A) $\frac{1}{8}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ B) $\frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ C) $\frac{1}{4}(\sin 3\theta + 3\sin \theta)$ D) $\frac{1}{8}(3\cos \theta - \cos 3\theta)$ E) $\frac{1}{8}(\sin 3\theta + 3\sin \theta)$

Question 3

Si $x \in ]0,1[$, alors $\lim_{n \to +\infty} (1-x)^n(1+x)^n$ est égale à :

A) $+\infty$ B) $-\infty$ C) $0$ D) $-1$ E) $1$

Question 4

Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ est :

A) $]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$ B) $]-1,1[ \cup ]1, +\infty[$ C) $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ D) $]-\infty, -1[ \cup ]0,1[ \cup ]1, +\infty[$ E) $]-1,1[$

Question 5

Si $f(x) = (x^2 - x)e^{\frac{1}{x}}$ alors $f'(x)$ est égale à :

A) $(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$ B) $(1-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$ C) $(\frac{1}{x}-1)e^{\frac{1}{x}}$ D) $(2x-2+\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$ E) $(2x-\frac{1}{x})e^{\frac{1}{x}}$

Question 6

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$, si $\arg(z-1) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $\arg(z+1) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$, alors $z$ est égal à :

A) $\sqrt{3}i$ B) $2\sqrt{3}i$ C) $-\sqrt{3}i$ D) $-2\sqrt{3}i$ E) $1+\sqrt{3}i$

Question 7

Si $z = 1 + ie^{\frac{i\theta}{2}}$ où $\theta \in ]-\pi, \pi[$ alors $|z|$ est égal à :

A) $2$ B) $2\cos\frac{\theta}{2}$ C) $2\cos\frac{\theta+\pi}{4}$ D) $\cos\frac{\theta+\pi}{4}$ E) $2\sin\frac{\theta}{4}$

Question 8

On a $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n-1}{n+1} \right)^{2n}$ est égale à :

A) $0$ B) $e^{-4}$ C) $e^{4}$ D) $e$ E) $1$

Question 9

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = \frac{1}{3}$ alors le produit $u_1 \times u_2 \times u_3 \times \ldots \times u_n$ est égal à :

A) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n-1)}{2}}$ B) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$ C) $\frac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}{2}}}$ D) $2^n \cdot 3^{\frac{n(n+1)}{2}}$ E) $\frac{1}{2^n \cdot3^{\frac{n(n-1)}{2}}}$

Question 10

Si $\forall x \in \mathbb{R}$ ; $f(x) = (x - 5)(x - 4)(x - 3)(x - 2)(x - 1)$ alors $f'(1)$ est égale à :

A) $24$ B) $1$ C) $0$ D) $5$ E) $-24$

Question 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{2\ln x}{x(1 + (\ln x)^2)}$. La primitive de $f$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en 1 est :

A) $\ln((\ln x)^2 + 1)$ B) $(\ln x)^2$ C) $2\ln((\ln x)^2 + 1)$ D) $\frac{x\ln x}{\ln x + 1}$ E) $\frac{2\ln x}{(\ln x)^2 + 1}$

Question 12

L'intégrale $\int_{0}^{1}\frac{2t + 3}{t + 2}dt$ est égale à :

A) $\ln\frac{3}{2}$ B) $2 + \ln\frac{3}{2}$ C) $2 - \ln\frac{2}{3}$ D) $2 + \ln\frac{2}{3}$ E) $\ln\frac{2}{3}$

Question 13

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $O, u, v$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que : $z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}$ est :

A) L'axe des réels privé du point $O$ B) Le cercle de centre $O$ et de rayon 1 C) L'axe des réels privé des deux points $A(-1)$ et $B(1)$ D) Le cercle de centre $O$ et de rayon 1 privé des deux points $A(-1)$ et $B(1)$ E) L'axe des réels privé du point $O$ union le cercle de centre $O$ et de rayon 1

Question 14

Soit $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par : $w_0 = \frac{1}{2}$ et $(\forall n \in \mathbb{N})$ ; $w_{n+1} = (w_n - 1)^2 + 1$. Si $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente alors $\lim_{n \to +\infty} w_n$ est égale à :

A) $0$ B) $2$ C) $1$ D) $\frac{1}{2}$ E) $-1$

Question 15

Soit $a \in [0, +\infty]$ et $f$ la fonction définie par : $f(x) = 1 + x\ln\sqrt{1 + \frac{a}{x}}$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ est égale à :

A) $1$ B) $1 + \frac{a}{2}$ C) $1 + a$ D) $+\infty$ E) $a$

Question 16

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que : $AB = AC = 10$. L'aire maximale du triangle $ABC$ est :

A) $25 \sqrt{2}$ B) $50$ C) $100$ D) $10$ E) $5\sqrt{2}$

Question 17

Si $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+)$ ; $f(x) = x^3 + 3\ln x + 1$ alors le nombre dérivé $(f^{-1})'(2)$ est égal à :

A) $\frac{1}{3}$ B) $\frac{1}{6}$ C) $\frac{1}{5}$ D) $\frac{1}{4}$ E) $\frac{1}{2}$

Question 18

L'intégrale $\int_0^1 \sin(x)e^x dx$ est égale à :

A) $\frac{1 + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$ B) $\frac{e + e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$ C) $\frac{1 - e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$ D) $1 + e^{\frac{\pi}{2}}$ E) $1 - e^{\frac{\pi}{2}}$

Question 19

On considère la fonction $f$ définie par : $(\forall x \in \mathbb{R}) f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$. Un encadrement de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0,1]$ est :

A) $0 \leq f'(x) \leq \frac{1}{\sqrt{e}}$ B) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq 0$ C) $-\frac{1}{2} \leq f'(x) \leq 0$ D) $0 \leq f'(x) \leq \sqrt{e}$ E) $-\frac{1}{\sqrt{e}} \leq f'(x) \leq -\frac{1}{2}$

Question 20

Soit $f(x) = \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} - ax\sqrt{x + b}$ avec $a$ et $b$ deux réels donnés. $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si :

A) $a > 0$ et $b > 0$ B) $a = 1$ et $b > 0$ C) $a = 1$ et $b = 2$ D) $a = 1$ et $b = 0$ E) $a > 0$ et $b = 0$

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Épreuve de Mathématiques